高中联赛四川赛区排名-高中联赛四川赛区

2010年全国高中数学联赛四川赛区一等奖名单

2010年全国高中数学联赛（四川赛区）一等奖名单

序号 姓名 性别 学校 年级

1 赵明民 男 绵阳东辰中学 高三

2 王青璨 男 成都七中 高三

3 陈 嘉 男 成都石室中学 高三

4 周思杰 男 绵阳东辰中学 高三

5 涂瀚宇 男 南充高中 高一

6 赵健程 男 成都七中 高三

7 李城宇 男 成都七中 高三

8 叶伟成 男 成都石室中学 高二

9 王知恬 女 成都七中 高二

10 宋佳林 男 成都七中 高三

11 廖泓茨 男 成都彭州中学 高三

12 付文凯 男 自贡荣县中学 高三

13 黄思翰 男 成都七中 高三

14 王乾鹏 男 成都七中 高三

15 王丹晨 男 成都七中 高三

16 熊 垚 男 成都石室中学 高三

17 周翘楚 男 成都七中 高三

18 蒋一贤 男 绵阳南山中学 高三

19 欧天翔 男 成都七中 高二

20 龚 玺 男 绵阳中学 高三

21 赖 力 男 成都七中 高三

22 杨凡意 男 成都七中 高三

23 张翔禹 男 成都七中 高三

24 卢俊杰 男 成都石室中学 高三

25 房啸天 男 绵阳东辰中学 高三

26 吴籽杉 男 绵阳中学 高三

27 周 石 男 成都七中 高三

28 易灵飞 男 成都七中 高二

29 禹皓博 男 成都七中 高二

30 刘 帅 男 绵阳中学 高三

31 虞 浩 男 成都七中 高三

32 杨 航 男 绵阳中学 高三

33 何畇言 男 成都七中 高三

34 冯 瀚 男 成都七中 高三

35 钟友城 男 绵阳南山中学 高三

36 薛 超 男 成都石室中学 高三

37 凌 晨 男 成都七中 高三

38 林袆露 女 成都七中 高三

39 章 嵘 男 成都七中 高三

40 姚郁诗 女 成都七中 高二

41 赵静闲 女 绵阳南山中学 高三

42 巴闻嘉 女 成都七中 高二

43 骆 奥 男 成都七中 高三

44 周稔集 男 绵阳中学 高三

45 李卓伦 男 成都七中 高三

08年全国高中数学联赛决赛四川赛区答案

一、（本题满分50分）

如题一图，给定凸四边形 ， ， 是平面上的动点，令 ．

（Ⅰ）求证：当 达到最小值时， 四点共圆；

（Ⅱ）设 是 外接圆 的 上一点，满足： ， ， ，又 是 的切线， ，求 的最小值．

[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点 ，有

．

因此

．

因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号，因此当且仅当 在 的外接圆且在 上时，

． …10分

又因 ，此不等式当且仅当 共线且 在 上时取等号．因此当且仅当 为 的外接圆与 的交点时， 取最小值 ．

故当 达最小值时， 四点共圆． …20分

（Ⅱ）记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以

，

整理得 ， …30分

解得 或 （舍去），

故 ， ．

由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分

从而 ， ， 为等腰直角三角形．因 ，则 ．

又 也是等腰直角三角形，故 ， ， ．

故 ． …50分

[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接 交 的外接圆 于 点（因为 在 外，故 在 上）．

过 分别作 的垂线，两两相交得 ，易知 在 内，从而在 内，记 之三内角分别为 ，则 ，又因 ， ，得 ，同理有 ， ，

所以 ∽ ． …10分

设 ， ， ，

则对平面上任意点 ，有

，

从而 ．

由 点的任意性，知 点是使 达最小值的点．

由点 在 上，故 四点共圆． …20分

（Ⅱ）由（Ⅰ）， 的最小值

，

记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以

，

整理得 ， …30分

解得 或 （舍去），

故 ， ．

由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分

所以 ， 为等腰直角三角形， ， ，因为 ， 点在 上， ，所以 为矩形， ，故 ，所以 ． …50分

[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用 等代表 所对应的复数．

由三角形不等式，对于复数 ，有

，

当且仅当 与 （复向量）同向时取等号．

有 ，

所以

（1）

，

从而

． （2） …10分

（1）式取等号的条件是

复数 与

同向，故存在实数 ，使得

，

，

所以 ，

向量 旋转到 所成的角等于 旋转到 所成的角，

从而 四点共圆．

（2）式取等号的条件显然为 共线且 在 上．

故当 达最小值时 点在 之外接圆上， 四点共圆． …20分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．

以下同解法一．

二、（本题满分50分）

设 是周期函数， 和1是 的周期且 ．证明：

（Ⅰ）若 为有理数，则存在素数 ，使 是 的周期；

（Ⅱ）若 为无理数，则存在各项均为无理数的数列 满足 ，且每个 都是 的周期．

[证] （Ⅰ）若 是有理数，则存在正整数 使得 且 ，从而存在整数 ，使得

．

于是

是 的周期． …10分

又因 ，从而 ．设 是 的素因子，则 ， ，从而

是 的周期． …20分

（Ⅱ）若 是无理数，令

，

则 ，且 是无理数，令

，

……

，

……． …30分

由数学归纳法易知 均为无理数且 ．又 ，故 ，即 ．因此 是递减数列． …40分

最后证：每个 是 的周期．事实上，因1和 是 的周期，故 亦是 的周期．设 是 的周期，则 也是 的周期．由数学归纳法，已证得 均是 的周期． …50分

三、（本题满分50分）

设 ， ．证明：当且仅当 时，存在数列 满足以下条件：

（ⅰ） ， ；

（ⅱ） 存在；

（ⅲ） ， ．

[证] 必要性：设存在 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为

， ，

其中 ．

将上式从第1项加到第 项，并注意到 得

． …10分

由（ⅱ）可设 ，将上式取极限得

，

因此 ． …20分

充分性：设 ．定义多项式函数如下：

， ，

则 在[0,1]上是递增函数，且

， ．

因此方程 在[0,1]内有唯一的根 ，且 ，即 ． …30分

下取数列 为 ， ，则明显地 满足题设条件（ⅰ），且

．

因 ，故 ，因此 ，即 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分

最后验证 满足（ⅲ），因 ，即 ，从而

．

综上，存在数列 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分

2015年四川省高中数学竞赛初赛多少分可以获省一等奖

不看分数，看名次的。

每年9月份中旬的第一个星期日举行，2018年略有提前，在9月10日。联赛分为一试和二试（也称为加试）。参加全国高中数学联赛的学生可以自愿选择是否参加“全国高中数学联赛加试”；有意获得赛区一等奖和有意参加全国中学生数学冬令营的学生必须参加联赛一试及联赛二试（加试），并以两试的总分作为确定赛区一等奖、冬令营营员的标准。

（一试）：所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

（二试）：与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加了一些教学大纲之外的内容。

结构及题型、分值搭配等是：

一试考试时间为 8：00—9：20，共80分钟，包括8道填空题（每题8分）和3道解答题（分别为16分、20分、20分），满分120分。

二试考试时间为 9：40—12：10，共150分钟，包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。前两题每题40分，后两题每题50分，满分180分。部分地区一试和二试一起考。下面是2018年高中数学A卷部分题目及参考答案。

联赛是数学竞赛的省级复赛阶段（前一阶段是预赛），会产生省级赛区一二三等奖，各省获奖名单预计在9月下旬陆续公布。

射洪中学-转发遂宁市数学学会